四元数学习笔记 -

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四元数学习笔记

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基础

四元数

http://3dgep.com/understanding-quaternions/

Understanding Quaternion的学习笔记

一.基本知识

复数的形式：

$z=a+bi~~a,b\in\mathbb{R},~~i^2=-1$

总结一下复数的运算

加：

$(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$

减：

$(a_1+b_1i)-(a_2+b_2i)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i$

数乘：

$\lambda(a+bi)=\lambda{a}+\lambda{b}i$

复数与复数的积

$\begin{array}{rcl}z_1&=&(a_1+b_1i)\\z_2&=&(a_2+b_2i)\\z_1z_2&=&(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)\\&=&a_1a_2+a_1b_2i+b_1a_2i+b_1b_2i^2\\&=&(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i\end{array}$

平方（转化为2个相同复数相乘）

$\begin{array}{rcl}z&=&(a+bi)\\z^2&=&(a+bi)(a+bi)\\&=&(a^2-b^2)+2abi\end{array}$

共轭：实部相同，虚部符号相反

$\begin{array}{rcl}z&=&(a+bi)\\z^*&=&(a-bi)\end{array}$

二者的积结果比较特殊：

$\begin{array}{rcl}z&=&(a+bi)\\z^*&=&(a-bi)\\zz^*&=&(a+bi)(a-bi)\\&=&a^2-abi+abi+b^2\\&=&a^2+b^2\end{array}$

绝对值：是复数与其共轭复数的积，的平方根

$\begin{array}{rcl}z&=&(a+bi)\\|z|&=&\sqrt{zz^*}\\&=&\sqrt{(a+bi)(a-bi)}\\&=&\sqrt{a^2+b^2}\end{array}$

二. 神奇的i

$\begin{array}{rrrrrrr}i^0&=&&&&&1\\i^1&=&&&&&i\\i^2&=&&&&&-1\\i^3&=&ii^2&=&&&-i\\i^4&=&i^{2}i^{2}&=&&&1\\i^5&=&ii^4&=&&&i\\i^6&=&ii^5&=&i^2&=&-1\end{array}$

可发现规律： $(1,i,-1,-i,1,\dots)$ .

挺像把一个点在笛卡尔坐标系中，逆时针90度90度的转。 $(x,y,-x,-y,x,\dots)$

顺时针的话： $(x,-y,-x,y,x,\dots)$

Cartesian Plane

相应的，把这种旋转放到复平面(Complex plane)上，横轴为实，纵轴为虚。

Complex Plane

可以推测，把一个复数x i。表示其在复平面的90度旋转们。

为了验证，来吧，乘起来。给定任意复数2+i. x i 或者 x -i;

Complex Numbers on the Complex Plane

三。转子 rotors

任意的旋转在复平面中的表达式也可以写成这样，用旋转角度表示。

$q=\cos\theta+i\sin\theta$

用q去乘某个复数，即可得到旋转结果：

$\begin{array}{rcl}p&=&a+bi\\q&=&\cos\theta+i\sin\theta\\pq&=&(a+bi)(\cos\theta+i\sin\theta)\\a^{\prime}+b^{\prime}i&=&a\cos\theta-b\sin\theta+(a\sin\theta+b\cos\theta)i\end{array}$